Правильно: в штате Вашингтон.
Возможны и варианты с ударением на основе, и варианты с ударением на окончании: нет по́ста/поста́.
Если имеется в виду "Пост, подобно подвигу, — это дело молодых", то верно: Пост, как подвиг, — дело молодых.
Поскольку слово разговорно-просторечное, то и рекомендаций относительно ударения нет. Допустимо: поста, посту, о посте.
Верно: в ста пятидесяти метрах.
Предпочтительно употребление предлога В.
Смысл предложения неясен, так что, скорее всего, оно составлено неверно.
Возможные варианты: занять пост, встать на пост, заступить на пост.